איך פותרים משוואות ואי-שוויונות עם ערך מוחלט? 🧮

הבנת המשמעות הגיאומטרית של ערך מוחלט כמרחק, ופתרון אלגברי באמצעות חלוקה לתחומים.

הסבר מפורט

הערך המוחלט של מספר, המסומן ב-

|x|

, מייצג את המרחק של המספר מהאפס על ציר המספרים. מכיוון שמרחק הוא תמיד חיובי או אפס, ערך מוחלט תמיד יחזיר תוצאה אי-שלילית.

ההגדרה האלגברית של ערך מוחלט היא:

|x| = \begin{cases} x & \text{if } x \ge 0 \\ -x & \text{if } x < 0 \end{cases}

א. פתרון משוואות עם ערך מוחלט

כדי לפתור משוואה כמו

|f(x)| = g(x)

:
נחלק לשני מקרים על פי הגדרת הערך המוחלט:

מקרה חיובי: $f(x) = g(x)$ (בתנאי ש- $f(x) \ge 0$ ).

מקרה שלילי: $-f(x) = g(x)$ (בתנאי ש- $f(x) < 0$ ).

בסיום, חובה להציב את הפתרונות שקיבלנו במשוואה המקורית כדי לוודא שאינם מובילים לתוצאה שלילית באגף הימני (מרחק לא יכול להיות שלילי, לכן

g(x) \ge 0

הוא תנאי הכרחי).

ב. אי-שוויונות עם ערך מוחלט

עבור אי-שוויון מהצורה $|x| < a$ (כאשר $a > 0$ ): הפתרון הוא תחום 'וגם':

-a < x < a

עבור אי-שוויון מהצורה $|x| > a$ (כאשר $a > 0$ ): הפתרון הוא תחום 'או':

x > a \quad \text{או} \quad x < -a

דוגמה מפורטת:

פתרו את המשוואה:

|2x - 4| = x + 1

פתרון:
נפצל לשני מקרים:
מקרה $1$ :

2x - 4 = x + 1

x = 5

בדיקה:

|2(5) - 4| = |6| = 6

. אגף ימין:

5 + 1 = 6

. הפתרון

x = 5

תקין.

מקרה $2$ :

-(2x - 4) = x + 1

-2x + 4 = x + 1

3x = 3 \implies x = 1

בדיקה:

|2(1) - 4| = |-2| = 2

. אגף ימין:

1 + 1 = 2

. הפתרון

x = 1

תקין.

קיבלנו שני פתרונות:

x = 5

ו-

x = 1

⭐ 0/0 תשובות נכונות

פתרו את המשוואה הבאה: $|x - 3| = 2x - 9$ .

פתרו את אי-השוויון הבא: $|2x - 5| < 3$ .

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ

אי-שוויונות ומשוואות ערך מוחלט