משפטי דמיון ויחסי שטחים והיקפים

הבנת הקשר החשוב בין יחס הדמיון המתקבל בין צלעות לבין יחסי ההיקפים והשטחים של המשולשים הדומים.
גיאומטריה📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)

דמיון משולשים: יחס שטחים ויחס היקפים 📐

הבנת הקשר החשוב בין יחס הדמיון המתקבל בין צלעות לבין יחסי ההיקפים והשטחים של המשולשים הדומים.

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

שני משולשים מוגדרים כדומים אם הזוויות שלהם שוות זו לזו בהתאמה, והצלעות שלהם שומרות על יחס קבוע המכונה יחס הדמיון (kk).

אם △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF, אז יחס הצלעות הוא:
ABDE=BCEF=ACDF=k\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = k

משפט זה מוליד שני חוקים יפים וחשובים מאוד לחישובי שטחים והיקפים בבגרות:

11. יחס ההיקפים


יחס ההיקפים של שני משולשים דומים שווה בדיוק ליחס הדמיון (kk):
P△ABCP△DEF=k\frac{P_{\triangle ABC}}{P_{\triangle DEF}} = k

22. יחס השטחים


יחס השטחים של שני משולשים דומים שווה לריבוע של יחס הדמיון (k2k^2):
S△ABCS△DEF=k2\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DEF}} = k^2

דוגמה מעשית:


נתון כי שני משולשים דומים, ויחס הדמיון ביניהם הוא k=34k = \frac{3}{4} (המשולש הראשון קטן יותר). שטח המשולש הגדול הוא 3232 סמ"ר. מהו שטח המשולש הקטן?

פתרון:
נסמן את שטח המשולש הקטן ב-S1S_1 ואת הגדול ב-S2S_2.
לפי החוק, יחס השטחים שווה ל-k2k^2:
S1S2=k2  ⟹  S132=(34)2\frac{S_1}{S_2} = k^2 \implies \frac{S_1}{32} = \left(\frac{3}{4}\right)^2
S132=916\frac{S_1}{32} = \frac{9}{16}
נכפיל ב−32-32 את שני האגפים:
S1=32⋅916=2⋅9=18 סמ"רS_1 = 32 \cdot \frac{9}{16} = 2 \cdot 9 = 18 \text{ סמ"ר}

פשוט, מהיר וקליל ללמידה!
⭐ 0/0 תשובות נכונות
1

היקפיהם של שני משולשים דומים הם 2020 ס"מ ו−50-50 ס"מ. מהו יחס הדמיון kk ביניהם? מה יהיה יחס השטחים שלהם?

2

צלע של משולש אחד היא 66 ס"מ וצלע מתאימה במשולש דומה היא 1212 ס"מ. אם שטח המשולש הקטן הוא 1515 סמ"ר, מצאו את שטח המשולש הגדול.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ