קטע אמצעים במשולש ובטרפז

הבנת התכונות של קטע המחבר את אמצעי הצלעות במשולש ובטרפז, ושימושן לחישוב אורכים והוכחת מקבילות.
גיאומטריה📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)

קטע אמצעים במשולש ובטרפז 📐

הבנת התכונות של קטע המחבר את אמצעי הצלעות במשולש ובטרפז, ושימושן לחישוב אורכים והוכחת מקבילות.

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

מושג מרכזי בגיאומטריה של תיכון הוא קטע אמצעים.

א. קטע אמצעים במשולש


הגדרה: קטע המחבר את אמצעי שתי צלעות במשולש נקרא קטע אמצעים.

תכונות מפתח:

  1. קטע האמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית.

  2. אורך קטע האמצעים שווה למחצית מאורכה של הצלע השלישית.



משפט הפוך: קטע היוצא מאמצע צלע אחת במשולש ומקביל לצלע השנייה, חוצה גם את הצלע השלישית (ולכן הוא קטע אמצעים).

ב. קטע אמצעים בטרפז


הגדרה: קטע המחבר את אמצעי השוקיים של טרפז נקרא קטע אמצעים בטרפז.

תכונות מפתח:

  1. קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים של הטרפז.

  2. אורך קטע האמצעים שווה לממוצע החשבוני של הבסיסים:


EF=AB+CD2EF = \frac{AB + CD}{2}
(כאשר ABAB ו-CDCD הם הבסיסים ו-EFEF הוא קטע האמצעים).

דוגמה מעשית (משולש):


במשולש ABCABC, נקודות DD ו-EE הן אמצעי הצלעות ABAB ו-ACAC בהתאמה. אורך הקטע DEDE הוא 2x−32x - 3, ואורך הצלע BCBC הוא 3x+23x + 2. מצאו את ערכו של xx ואת אורכה של הצלע BCBC.

פתרון:
מכיוון ש-DD ו-EE הן נקודות אמצע, DEDE הוא קטע אמצעים במשולש ABCABC.
לפי התכונה, אורך קטע האמצעים שווה למחצית מהצלע השלישית BCBC:
DE=BC2  ⟹  2x−3=3x+22DE = \frac{BC}{2} \implies 2x - 3 = \frac{3x + 2}{2}
נכפיל ב−2-2 את שני אגפי המשוואה:
4x−6=3x+24x - 6 = 3x + 2
x=8x = 8

נציב כדי למצוא את אורך BCBC:
BC=3⋅8+2=26 ס"מBC = 3 \cdot 8 + 2 = 26 \text{ ס"מ}
(ואכן DE=2⋅8−3=13DE = 2 \cdot 8 - 3 = 13, שזה חצי מ−26-26).
⭐ 0/0 תשובות נכונות
1

בטרפז ABCDABCD (בסיסים ABAB ו-CDCD), קטע האמצעים EFEF שווה ל−14-14 ס"מ. אורך הבסיס הקטן ABAB הוא 1010 ס"מ. חשבו את אורך הבסיס הגדול CDCD.

2

הוכיחו כי קטעי האמצעים במשולש מחלקים אותו לארבעה משולשים חופפים.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ