משוואות אי-רציונליות מורכבות (עם שני שורשים) 🧮

שיטות פתרון למשוואות המכילות מספר ביטויי שורש וטכניקות עבודה נכונות למניעת טעויות העלאה בריבוע.

הסבר מפורט

משוואות אי-רציונליות המכילות שני שורשים (או שורש אחד בתוספת איברים חופשיים מחוץ לשורש) דורשות מאיתנו לבצע את פעולת ההעלאה בריבוע פעמיים.

🚨
זהירות

העלאה בריבוע של אגף המכיל סכום או הפרש מבוצעת אך ורק לפי נוסחאות הכפל המקוצר!

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

ולא

a^2 + b^2

סידור המשוואה: נשאף להעביר שורש אחד לאגף ימין ושורש שני לאגף שמאל, כדי למנוע מצב של העלאת שני שורשים יחד באותו אגף בריבוע (זה מסבך את החישוב).

בידוד השורש הנותר: המשוואה שתתקבל עדיין תכיל ביטוי שורש (האיבר האמצעי $2ab$ של נוסחת הכפל המקוצר). נעביר את כל האיברים שאינם שורש לאגף אחד, ונבודד את השורש.

פתרו את המשוואה:

\sqrt{x + 5} - \sqrt{x} = 1

פתרון:
נעביר את

\sqrt{x}

לאגף ימין כדי להפריד את השורשים:

\sqrt{x + 5} = 1 + \sqrt{x}

נעלה את שני האגפים בריבוע (שים לב לצד ימין - נוסחת כפל מקוצר):

x + 5 = (1 + \sqrt{x})^2

x + 5 = 1 + 2\sqrt{x} + x

נצמצם את

x

משני האגפים:

5 = 1 + 2\sqrt{x}

4 = 2\sqrt{x} \implies \sqrt{x} = 2

נעלה שוב בריבוע:

x = 4

בדיקה במשוואה המקורית:

\sqrt{4 + 5} - \sqrt{4} = \sqrt{9} - 2 = 3 - 2 = 1

(נכון).
הפתרון הסופי הוא

x = 4