מפגש תיכונים במשולש

תכונת הזהב של מפגש התיכונים המחלקת כל תיכון ביחס של 2:12:1, והוכחות גיאומטריות המבוססות עליה.
גיאומטריה📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)

נקודת מפגש התיכונים במשולש (צנטרואיד) 📐

תכונת הזהב של מפגש התיכונים המחלקת כל תיכון ביחס של 2:12:1, והוכחות גיאומטריות המבוססות עליה.

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

בכל משולש, שלושת התיכונים (קטעים המחברים קודקוד עם אמצע הצלע שמולו) נפגשים תמיד בנקודה אחת יחידה. נקודה זו נקראת נקודת מפגש התיכונים (או מרכז הכובד של המשולש).

משפט מפגש התיכונים (משפט ה−2:1-2:1):
נקודת מפגש התיכונים במשולש מחלקת כל תיכון לשני קטעים, כך שהקטע הקרוב לקודקוד גדול פי 22 מהקטע הקרוב לצלע.

במילים אחרות, אם ADAD הוא תיכון לצלע BCBC ו-MM היא נקודת מפגש התיכונים, אז מתקיים:
AM=2⋅MDAM = 2 \cdot MD
או בצורה של שברים:
AM=23AD,MD=13ADAM = \frac{2}{3} AD, \quad MD = \frac{1}{3} AD

דוגמה מעשית:


במשולש ABCABC מעבירים את התיכון ADAD לצלע BCBC. נקודת מפגש התיכונים היא MM. נתון כי אורך הקטע AMAM הוא 88 ס"מ. מצאו את אורך התיכון המלא ADAD.

פתרון:
לפי משפט מפגש התיכונים, הקטע הקרוב לקודקוד AMAM גדול פי 22 מהקטע הקרוב לצלע MDMD:
MD=AM2=82=4 ס"מMD = \frac{AM}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ ס"מ}

אורך התיכון המלא ADAD הוא סכום שני הקטעים:
AD=AM+MD=8+4=12 ס"מAD = AM + MD = 8 + 4 = 12 \text{ ס"מ}.

פשוט, מהיר וקל לזכירה!
⭐ 0/0 תשובות נכונות
1

במשולש ישר זווית, אורך היתר הוא 1818 ס"מ. חשבו את המרחק מקודקוד הזווית הישרה אל נקודת מפגש התיכונים (רמז: השתמשו בתכונת התיכון ליתר במקביל).

2

הוכיחו כי שלושת התיכונים מחלקים את המשולש לשישה משולשים קטנים שווי שטח.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ