מצבים הדדיים וחישובי מרחקים במרחב 📐

חקירת המצבים ההדדיים בין ישרים ומישורים במרחב (נחתכים, מקבילים, מתלכדים או מצטלבים) ונוסחאות מרחק.

הסבר מפורט

בגיאומטריה תלת-ממדית, יש מגוון מצבים הדדיים בין גופים מתמטיים:

שני ישרים במרחב יכולים להיות:

מצטלבים: ישרים שאינם באותו מישור, אינם מקבילים ואינם נפגשים לעולם (כמו גשר וכביש מתחתיו).

המרחק המינימלי (אנך) מנקודה

P(x_0, y_0, z_0)

אל מישור שמשוואתו

Ax + By + Cz + D = 0

מחושב בעזרת הנוסחה המהירה:

d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

מצאו את מרחק הנקודה

P(1, 2, 4)

מהמישור

2x - y + 2z + 5 = 0

.

פתרון:
נציב את שיעורי הנקודה ואת מקדמי המישור בנוסחת המרחק:

d = \frac{|2 \cdot 1 - 2 + 2 \cdot 4 + 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}}

d = \frac{|2 - 2 + 8 + 5|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{13}{\sqrt{9}} = \frac{13}{3} = 4.33

מרחק הנקודה מהמישור הוא

4 \frac{1}{3}

יחידות אורך. פשוט ללמוד!

מצאו את מרחק ראשית הצירים $(0,0,0)$ מהמישור $3x - 4y + 12z - 26 = 0$ .

הסבירו מהו התנאי לכך ששני ישרים במרחב יהיו מצטלבים (בניגוד למקבילים).

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7