מספרים מרוכבים: הצגה אלגברית וטריגונומטרית

הבנת מושג המספר המרוכב z=a+biz=a+bi, הצגתו במישור גאוס, והמרה להצגה קוטבית (טריגונומטרית).
מספרים מרוכבים📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)

מבוא למספרים מרוכבים ומישור גאוס 🧮

הבנת מושג המספר המרוכב z=a+biz=a+bi, הצגתו במישור גאוס, והמרה להצגה קוטבית (טריגונומטרית).

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

במספרים ממשיים, אין פתרון למשוואה x2=−1x^2 = -1 (לא ניתן להוציא שורש למספר שלילי). כדי לפתור בעיה זו, המתמטיקה הגדירה יחידה דמיונית מסומנת באות ii:
i2=−1  ⟹  i=−1i^2 = -1 \implies i = \sqrt{-1}

מפגש בין מספרים ממשיים לדימיוניים יוצר את המספר המרוכב:

א. הצגה אלגברית


z=a+biz = a + bi
כאשר:

  • aa: החלק הממשי (Real)−(Real) - מיוצג על ציר ה-xx במישור.

  • bb: החלק הדמיוני (Imaginary)−(Imaginary) - מיוצג על ציר ה-yy במישור.


מישור צירים זה נקרא מישור גאוס.

ב. הצגה טריגונומטרית (קוטבית / פולרית)


מציגה את המספר בעזרת המרחק שלו מהראשית (rr) והזווית שלו מציר ה-xx (θ\theta):
z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)או בקיצור z=rcis⁡θz = r(\cos \theta + i \sin \theta) \quad \text{או בקיצור } z = r \operatorname{cis} \theta

נוסחאות המעבר בין ההצגות:



  • מעבר מאלגברית לקוטבית:


r=∣z∣=a2+b2,tan⁡θ=bar = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \tan \theta = \frac{b}{a}

  • מעבר מקוטבית לאלגברית:


a=rcos⁡θ,b=rsin⁡θa = r \cos \theta, \quad b = r \sin \theta

דוגמה מעשית:


המירו את המספר המרוכב z=1+i3z = 1 + i\sqrt{3} להצגה קוטבית.

פתרון:
נחשב את הרדיוס rr:
r=12+(3)2=1+3=4=2r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2
נחשב את הזווית θ\theta (הנקודה ברביע הראשון):
tan⁡θ=31=3  ⟹  θ=60∘\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \implies \theta = 60^\circ

ההצגה הקוטבית היא: z=2cis⁡(60∘)z = 2 \operatorname{cis}(60^\circ). פשוט ומהיר!
1

המירו את המספר המרוכב הקוטבי z=4cis⁡(120∘)z = 4 \operatorname{cis}(120^\circ) להצגה אלגברית.

2

חשבו את ערך המכפלה של z1=2cis⁡(30∘)z_1 = 2\operatorname{cis}(30^\circ) ו-z2=3cis⁡(40∘)z_2 = 3\operatorname{cis}(40^\circ) (רמז: מכפילים את הרדיוסים ומחברים את הזוויות).

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ