זהויות ומשוואות טריגונומטריות

שימוש בזהויות יסוד (זהות פיתגורס, זווית כפולה) לפתרון משוואות טריגונומטריות וציון פתרון כללי.
טריגונומטריה📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)4 יח״ל

זהויות ופתרון משוואות טריגונומטריות 🧮

שימוש בזהויות יסוד (זהות פיתגורס, זווית כפולה) לפתרון משוואות טריגונומטריות וציון פתרון כללי.

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

פתרון משוואות טריגונומטריות דורש שילוב של אלגברה עם זהויות טריגונומטריות כדי לפשט את הביטויים למצב בסיסי.

א. זהויות יסוד שחובה לדעת:



  1. זהות פיתגורס: sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1

  2. זהות הטנגנס: tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}

  3. זהות זווית כפולה:



  • sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x

  • cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x=2cos⁡2x−1=1−2sin⁡2x\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x



ב. פתרונות כלליים של משוואות בסיסיות:


כיוון שהפונקציות הטריגונומטריות הן מחזוריות, יש למשוואה אינסוף פתרונות. הפתרון הכללי כולל קבוע שלם kk:

  • עבור sin⁡x=sin⁡α\sin x = \sin \alpha:


11) x=α+360∘kx = \alpha + 360^\circ k
22) x=180∘−α+360∘kx = 180^\circ - \alpha + 360^\circ k

  • עבור cos⁡x=cos⁡α\cos x = \cos \alpha:


11) x=α+360∘kx = \alpha + 360^\circ k
22) x=−α+360∘kx = -\alpha + 360^\circ k

  • עבור tan⁡x=tan⁡α\tan x = \tan \alpha:


x=α+180∘kx = \alpha + 180^\circ k

דוגמה מפורטת:


פתרו את המשוואה הבאה בתחום הכללי:
sin⁡(2x)−cos⁡x=0\sin(2x) - \cos x = 0

פתרון:
נשתמש בזהות זווית כפולה לסינוס sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x:
2sin⁡xcos⁡x−cos⁡x=02\sin x \cos x - \cos x = 0
נוציא גורם משותף cos⁡x\cos x:
cos⁡x(2sin⁡x−1)=0\cos x (2\sin x - 1) = 0

נפצל לשני מקרים:
מקרה 11: cos⁡x=0  ⟹  x=90∘+180∘k\cos x = 0 \implies x = 90^\circ + 180^\circ k
מקרה 22: 2sin⁡x−1=0  ⟹  sin⁡x=0.5  ⟹  x1=30∘+360∘k, x2=150∘+360∘k2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = 0.5 \implies x_1 = 30^\circ + 360^\circ k, \ x_2 = 150^\circ + 360^\circ k.

אלו הם הפתרונות הכלליים של המשוואה. עבודה מסודרת עם זהויות היא המפתח!
1

פתרו את המשוואה הבאה בתחום הכללי: cos⁡(2x)=cos⁡x\cos(2x) = \cos x.

2

השתמשו בזהות פיתגורס כדי לפתור את המשוואה: 2sin⁡2x+3cos⁡x−3=02\sin^2 x + 3\cos x - 3 = 0.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ