הסתברות מורחבת: נוסחת בייס

לימוד נוסחת בייס להסתברות מותנית הפוכה, ופתרון בעיות הסתברות רב-שלביות בבגרות 55 יחידות.
הסתברות📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)

הסתברות: נוסחת בייס ובעיות מורכבות 🎲

לימוד נוסחת בייס להסתברות מותנית הפוכה, ופתרון בעיות הסתברות רב-שלביות בבגרות 55 יחידות.

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

בבגרות 55 יח"ל, שאלות של הסתברות מותנית דורשות לעיתים קרובות לחשב הסתברות של 'גורם' בהינתן 'תוצאה'. סוג זה של הסתברות נקרא הסתברות הפוכה, והוא מחושב באמצעות נוסחת בייס (Bayes' Theorem).

נוסחת בייס:


P(Bi∣A)=P(Bi)⋅P(A∣Bi)P(A)P(B_i | A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A | B_i)}{P(A)}
כאשר P(A)P(A) מחושב לפי נוסחת ההסתברות השלמה (סכום כל הענפים המובילים ל-AA):
P(A)=P(B1)P(A∣B1)+P(B2)P(A∣B2)+…P(A) = P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2) + \dots

דוגמה מעשית:


במפעל מייצרים מוצרים בשתי מכונות: מכונה א' מייצרת 60%60\% מהמוצרים, ומכונה ב' מייצרת 40%40\% מהמוצרים. אחוז המוצרים הפגומים במכונה א' הוא 2%2\%, ובמכונה ב' הוא 5%5\%. בוחרים באקראי מוצר מהמחסן ונמצא שהוא פגום. מהי ההסתברות שהוא יוצר במכונה א'?

פתרון:
נגדיר את המאורעות:

  • AA: המוצר פגום.

  • B1B_1: המוצר מיוצר במכונה א'. P(B1)=0.6P(B_1) = 0.6.

  • B2B_2: המוצר מיוצר במכונה ב'. P(B2)=0.4P(B_2) = 0.4.



ההסתברויות המותנות לפגום הן:

  • P(A∣B1)=0.02P(A | B_1) = 0.02

  • P(A∣B2)=0.05P(A | B_2) = 0.05



נחשב תחילה את ההסתברות השלמה לבחור מוצר פגום P(A)P(A):
P(A)=P(B1)P(A∣B1)+P(B2)P(A∣B2)=0.6⋅0.02+0.4⋅0.05=0.012+0.02=0.032P(A) = P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2) = 0.6 \cdot 0.02 + 0.4 \cdot 0.05 = 0.012 + 0.02 = 0.032

כעת נשתמש בנוסחת בייס כדי למצוא את ההסתברות שהמוצר יוצר במכונה א' בהינתן שהוא פגום:
P(B1∣A)=P(B1)⋅P(A∣B1)P(A)=0.6⋅0.020.032=0.0120.032=0.375P(B_1 | A) = \frac{P(B_1) \cdot P(A | B_1)}{P(A)} = \frac{0.6 \cdot 0.02}{0.032} = \frac{0.012}{0.032} = 0.375

ההסתברות היא 0.375(0.375 (או 37.5%37.5\%). פשוט ללמוד כשעובדים לפי הגדרת המאורעות!
1

באותה דוגמה, חשבו את ההסתברות שהמוצר הפגום יוצר במכונה ב' (השתמשו בנוסחת בייס או במאורע משלים).

2

הסבירו את ההבדל בין P(A∣B)P(A|B) לבין P(B∣A)P(B|A) בעזרת דוגמה מציאותית של אבחון רפואי ומחלה.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ