אינטגרציה בשיטת ההצבה (5 יחידות) 🧮
לימוד טכניקת ההצבה לפישוט ופתרון אינטגרלים מורכבים בבגרות יחידות.
⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:
הסבר מפורט
בבגרות יח"ל, אינטגרלים רבים של פונקציות מעריכיות או שורשים אינם ניתנים לפתרון ישיר בעזרת נוסחאות פשוטות. השיטה החזקה ביותר לפתרון אינטגרלים כאלו היא שיטת ההצבה .
מטרת השיטה היא להחליף חלק מורכב מהפונקציה במשתנה עזר חדש , כך שהאינטגרל החדש שנקבל יהיה פשוט ונוח לפתרון.
חשבו את האינטגרל הבא:
פתרון:
שלב : נבחר להציב (המעריך של הפונקציה המעריכית).
שלב : נגזור: .
שלב : נציב באינטגרל:
נצמצם את המשותף במונה ובמכנה ונקבל אינטגרל נקי לפי :
שלב : נפתור את האינטגרל הבסיסי:
שלב : נציב בחזרה :
מטרת השיטה היא להחליף חלק מורכב מהפונקציה במשתנה עזר חדש , כך שהאינטגרל החדש שנקבל יהיה פשוט ונוח לפתרון.
שלבי העבודה בשיטת ההצבה:
- בחירת ההצבה (): בוחרים ביטוי פנימי בפונקציה (לרוב כזה שהנגזרת שלו מופיעה גם היא בתוך האינטגרל) ומגדירים .
- גזירה ודיפרנציאל (): גוזרים את לפי ומחלצים את :
- הצבה באינטגרל: מציבים את ואת בתוך האינטגרל ומצמצמים את כל האיברים המכילים (חובה שכל האינטגרל יכיל רק את המשתנה ).
- פתרון האינטגרל: מבצעים את האינטגרציה לפי .
- הצבה בחזרה: מציבים במקום את הביטוי המקורי כדי לקבל את התשובה הסופית במונחי .
דוגמה מפורטת:
חשבו את האינטגרל הבא:
פתרון:
שלב : נבחר להציב (המעריך של הפונקציה המעריכית).
שלב : נגזור: .
שלב : נציב באינטגרל:
נצמצם את המשותף במונה ובמכנה ונקבל אינטגרל נקי לפי :
שלב : נפתור את האינטגרל הבסיסי:
שלב : נציב בחזרה :
1
חשבו את האינטגרל הבא בשיטת ההצבה: (רמז: הציבו ).
2
הסבירו מדוע שיטת ההצבה היא למעשה הפעולה ההפוכה של חוק השרשרת בגזירה.
נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪
שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7
שלחו הודעה בוואטסאפ