שלבי החקירה הקבועים:

1. תחום הגדרה: דורשים שהמכנה יהיה שונה מאפס.


2. חיתוך עם הצירים:

• עם ציר $y$: מציבים $x = 0$.


• עם ציר $x$: משווים את הפונקציה לאפס ($y = 0$, מספיק להשוות מונה לאפס).

1. נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה:

• גוזרים את הפונקציה בשיטת המנה.


• משווים את הנגזרת לאפס ($f'(x) = 0$).


• בונים טבלה עם נקודות אי-הגדרה וחשודות לקיצון כדי לקבוע את סוג הקיצון (מינימום/מקסימום) ותחומי עלייה וירידה.

1. אסימפטוטות:

• אנכית: נקודות המאפסות מכנה בלבד.


• אופקית (עבור $x \to \pm\infty$): בודקים את יחס החזקות הגבוהות ביותר במונה ובמכנה.


• חזקה גבוהה במכנה $\implies y = 0$.


• חזקות שוות $\implies y = \frac{\text{מקדם מונה}}{\text{מקדם מכנה}}$.


• חזקה גבוהה במונה $\implies$ אין אסימפטוטה אופקית.

1. שרטוט סקיצה: מחברים את כל הממצאים לציור אחד זורם.

דוגמה קצרה:

• תחום הגדרה: $x \neq 1$.


• חיתוך עם ציר $y$: $(0, 0)$. חיתוך עם ציר $x$: $2x=0 \implies (0, 0)$.


• אסימפטוטה אנכית: $x = 1$. אופקית: חזקות שוות $\implies y = \frac{2}{1} = 2$.


• נגזרת: $f'(x) = \frac{2(x-1) - 2x(1)}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$.