כללי גזירה של פונקציות מנה

לימוד נוסחת הגזירה לפונקציות שבריות וטכניקות לפישוט הנגזרת לקראת מציאת נקודות קיצון.
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)

גזירת פונקציית מנה (פונקציה רציונלית) 🧮

לימוד נוסחת הגזירה לפונקציות שבריות וטכניקות לפישוט הנגזרת לקראת מציאת נקודות קיצון.

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

בחשבון דיפרנציאלי, כאשר אנו רוצים לגזור פונקציית שבר (מנה של שתי פונקציות), אנו משתמשים בנוסחה ייחודית.

אם הפונקציה היא מהצורה:
f(x)=u(x)v(x)f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}

אז נוסחת הנגזרת היא:
f′(x)=u′(x)⋅v(x)−u(x)⋅v′(x)[v(x)]2f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}

ובמילים פשוטות:
(נגזרת המונה כפול המכנה) פחות (המונה כפול נגזרת המכנה), כל זה חלקי (המכנה בריבוע).



💡
טיפ

ברוב השאלות נצטרך להשוות את הנגזרת לאפס (f′(x)=0f'(x) = 0). במצב כזה, מספיק להשוות את המונה של הנגזרת בלבד לאפס, מכיוון ששבר שווה לאפס רק כאשר המונה שלו שווה לאפס (בתנאי שהמכנה שונה מאפס).


דוגמה מפורטת:


גזרו את הפונקציה הבאה:
f(x)=x2−4x−3f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 3}

פתרון:
נגדיר את המונה והמכנה ונגזור אותם בנפרד:

  • מונה: u=x2−4  ⟹  u′=2xu = x^2 - 4 \implies u' = 2x

  • מכנה: v=x−3  ⟹  v′=1v = x - 3 \implies v' = 1



כעת נציב בנוסחת פונקציית המנה:
f′(x)=(2x)⋅(x−3)−(x2−4)⋅1(x−3)2f'(x) = \frac{(2x) \cdot (x - 3) - (x^2 - 4) \cdot 1}{(x - 3)^2}

נפתח סוגריים במונה ונכנס איברים דומים:
f′(x)=2x2−6x−x2+4(x−3)2f'(x) = \frac{2x^2 - 6x - x^2 + 4}{(x - 3)^2}
f′(x)=x2−6x+4(x−3)2f'(x) = \frac{x^2 - 6x + 4}{(x - 3)^2}

וזוהי הנגזרת הסופית והנקייה!
1

גזרו את הפונקציה הבאה: f(x)=2x+1x−2f(x) = \frac{2x + 1}{x - 2}.

2

מצאו את הנגזרת של f(x)=x2x+1f(x) = \frac{x^2}{x + 1}.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ