גדילה ודעיכה מורכבת: שימוש בלוגריתמים

פתרון משוואות מעריכיות מורכבות למציאת הזמן (tt) או מקדם הגידול באמצעות לוגריתמים.
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)

גדילה ודעיכה: שימוש בלוגריתם טבעי (ln) ⏳

פתרון משוואות מעריכיות מורכבות למציאת הזמן (tt) או מקדם הגידול באמצעות לוגריתמים.

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

בבעיות גדילה ודעיכה בסיסיות מצאנו את הכמות הסופית MtM_t. אך מה קורה כאשר הכמויות ידועות ואנו נדרשים למצוא את הזמן tt שנדרש כדי להגיע אליהן?

במצב כזה, המשתנה tt נמצא במעריך החזקה של המשוואה Mt=M0⋅qtM_t = M_0 \cdot q^t. כדי לפתור זאת ולחלץ את tt, אנו משתמשים בלוגריתם הטבעי (ln⁡\ln).

שלבי העבודה למציאת הזמן tt:



  1. בידוד הבסיס והחזקה: מעבירים אגפים כך שהביטוי qtq^t יישאר לבדו באגף אחד:


qt=MtM0q^t = \frac{M_t}{M_0}

  1. הפעלת לוגריתם (ln⁡\ln): מפעילים לוגריתם טבעי על שני אגפי המשוואה:


ln⁡(qt)=ln⁡(MtM0)\ln(q^t) = \ln\left(\frac{M_t}{M_0}\right)

  1. הורדת המעריך (חוק הלוגריתמים): משתמשים בחוק הלוגריתם ln⁡(ab)=b⋅ln⁡a\ln(a^b) = b \cdot \ln a:


t \cdot \ln q = \ln\left(\frac{M_t}{M_0} ight)

  1. חילוק ופתרון: מחלקים ב-ln⁡q\ln q ומחשבים את הערך במחשבון:


t=ln⁡(Mt/M0)ln⁡qt = \frac{\ln(M_t / M_0)}{\ln q}

דוגמה מעשית:


חשבון בנק נושא ריבית שנתית קבועה של 4%(4\% (כלומר q=1.04q = 1.04). אדם הפקיד 10,00010,000 ש"ח. לאחר כמה שנים יהיו בחשבונו 15,00015,000 ש"ח?

פתרון:
נציב את הנתונים בנוסחה Mt=M0⋅qtM_t = M_0 \cdot q^t:
15000=10000⋅(1.04)t15000 = 10000 \cdot (1.04)^t
נחלק ב−10,000-10,000 כדי לבודד את הבסיס:
(1.04)t=1.5(1.04)^t = 1.5
נפעיל לוגריתם טבעי (ln⁡\ln) על שני האגפים:
ln⁡(1.04)t=ln⁡(1.5)\ln(1.04)^t = \ln(1.5)
t⋅ln⁡(1.04)=ln⁡(1.5)t \cdot \ln(1.04) = \ln(1.5)
נחלק ב-ln⁡(1.04)\ln(1.04):
t=ln⁡(1.5)ln⁡(1.04)≈0.40540.0392≈10.34 שניםt = \frac{\ln(1.5)}{\ln(1.04)} \approx \frac{0.4054}{0.0392} \approx 10.34 \text{ שנים}

הכסף יגיע ל−15,000-15,000 ש"ח לאחר כ−10.3-10.3 שנים. פשוט ומדויק!
1

חומר רדיואקטיבי דועך בקצב שנתי של 8%(8\% (q=0.92q = 0.92). לאחר כמה שנים תקטן כמות החומר לחצי מכמותה המקורית?

2

פתרו את המשוואה המעריכית הבאה באמצעות לוגריתמים: 3x=203^x = 20.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ