בעיות זמן מחצית חיים

הבנת מושג מחצית החיים של חומרים רדיואקטיביים ופתרון בעיות מעשיות ברמת בגרות בסיסית.
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)

גדילה ודעיכה: זמן מחצית חיים ⏳

הבנת מושג מחצית החיים של חומרים רדיואקטיביים ופתרון בעיות מעשיות ברמת בגרות בסיסית.

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

בתהליכי דעיכה רבים, במיוחד בפיזיקה וכימיה (כמו דעיכה של חומרים רדיואקטיביים), אנו נתקלים במושג שנקרא זמן מחצית חיים.

הגדרה:
זמן מחצית חיים הוא פרק הזמן הנדרש לכמות של חומר מסוים לקטון בדיוק לחצי מכמותו המקורית.

במונחים של נוסחת הדעיכה Mt=M0⋅qtM_t = M_0 \cdot q^t:
אם TT הוא זמן מחצית החיים, אז לאחר זמן t=Tt = T מתקיים כי הכמות היא MT=0.5M0M_T = 0.5 M_0.
כלומר, מקדם הדעיכה לאותו פרק זמן מקיים:
qT=0.5q^T = 0.5

דוגמה מעשית:


זמן מחצית החיים של חומר רדיואקטיבי מסוים הוא 1010 שנים. בהתחלה היו 8080 גרם מהחומר. כמה גרם יישארו לאחר 3030 שנים?

פתרון:
נחשוב בצורה הגיונית:

  • לאחר 1010 שנים (מחזור אחד של חצי חיים): הכמות תקטן לחצי, כלומר יישארו 4040 גרם.

  • לאחר 2020 שנים (שני מחזורים): הכמות תקטן שוב לחצי, כלומר יישארו 2020 גרם.

  • לאחר 3030 שנים (שלושה מחזורים): הכמות תקטן שוב לחצי, כלומר יישארו 1010 גרם.



נפתור זאת באופן פורמלי באמצעות הנוסחה:
נמצא תחילה את qq השנתי. ידוע כי לאחר 1010 שנים נותר חצי מהחומר:
q10=0.5q^{10} = 0.5

כעת נחשב את הכמות לאחר t=30t = 30 שנים:
M30=M0⋅q30=M0⋅(q10)3M_{30} = M_0 \cdot q^{30} = M_0 \cdot (q^{10})^3
נציב M0=80M_0 = 80 ו-q10=0.5q^{10} = 0.5:
M30=80⋅(0.5)3=80⋅0.125=10 גרםM_{30} = 80 \cdot (0.5)^3 = 80 \cdot 0.125 = 10 \text{ גרם}

התוצאה זהה ומתקבלת במהירות!
1

חומר רדיואקטיבי דועך כך שחצי מכמותו נעלמת בכל 44 שעות. אם כעת יש 120120 גרם, כמה גרם יישארו לאחר 1212 שעות?

2

הסבירו מדוע כמות החומר לעולם לא תגיע בדיוק לאפס באופן מתמטי תאורטי.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ