חקירת פונקציה מעריכית (e בחזקת x) 📊

איך לגזור פונקציות מעריכיות מורכבות המכילות את בסיס הלוגריתם הטבעי e, ושלבי החקירה בבגרות.

הסבר מפורט

פונקציה מעריכית היא פונקציה שבה המשתנה

x

נמצא במעריך החזקה, למשל

f(x) = e^x

.
המספר

e

הוא קבוע מתמטי (מספר אוילר) שערכו בערך

2.718

(e^x)' = e^x

פונקציה מעריכית מורכבת (חוק השרשרת): אם החזקה היא פונקציה של $x$ (למשל $e^{g(x)}$ ), נגזור אותה על ידי כפל בנגזרת הפנימית של המעריך:

(e^{g(x)})' = e^{g(x)} \cdot g'(x)

🚨
חשוב

הביטוי

e^x

(או

e^{g(x)}

) הוא תמיד חיובי לכל ערך של

x

ממשי! הוא לעולם אינו מתאפס ואינו יכול להיות שלילי. תכונה זו מפשטת מאוד פתרון של אי-שוויונות ואיפוס נגזרות בבגרות.

גזרו את הפונקציה הבאה ומצאו את נקודות החיתוך שלה עם ציר ה-

y

f(x) = e^{x^2 - 3x}

פתרון:

הפונקציה הפנימית במעריך היא

g(x) = x^2 - 3x \implies g'(x) = 2x - 3

.
לפי החוק, נכפיל את הפונקציה המקורית בנגזרת המעריך:

f'(x) = e^{x^2 - 3x} \cdot (2x - 3)

f(0) = e^{0^2 - 3 \cdot 0} = e^0 = 1

נקודת החיתוך היא

(0, 1)

גזרו את הפונקציה הבאה: $f(x) = x \cdot e^x$ (השתמשו בנגזרת מכפלה).

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x) = e^x - x$ וקבעו את סוגן.

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7