חוקי לוגריתמים וחקירת פונקציה לוגריתמית

מציאת תחום ההגדרה הייחודי של פונקציות לוגריתמיות, כללי הגזירה של ln(x)ln(x) ואסימפטוטות אנכיות.
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)4 יח״ל

חקירת פונקציה לוגריתמית (ln x) 📊

מציאת תחום ההגדרה הייחודי של פונקציות לוגריתמיות, כללי הגזירה של ln(x)ln(x) ואסימפטוטות אנכיות.

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

פונקציה לוגריתמית טבעית היא פונקציה המכילה את הביטוי ln⁡x\ln x, שהוא הלוגריתם לפי בסיס ee.

א. תחום הגדרה (קריטי!)


הלוגריתם מוגדר אך ורק עבור ערכים חיוביים (אסור להציב אפס או מספר שלילי בלוגריתם). לכן, עבור פונקציה f(x)=ln⁡(g(x))f(x) = \ln(g(x)), נדרוש:
g(x)>0g(x) > 0

ב. כלל הגזירה של לוגריתם


הנגזרת של פונקציית ln⁡\ln שווה לנגזרת הפנימית חלקי הפונקציה הפנימית:
(ln⁡(g(x)))′=g′(x)g(x)(\ln(g(x)))' = \frac{g'(x)}{g(x)}

ג. אסימפטוטה אנכית


אסימפטוטה אנכית של פונקציית לוגריתם מתקבלת בנקודות הקצה של תחום ההגדרה (מתי שהארגומנט הפנימי שואף לאפס מצד ימין). למשל, עבור ln⁡x\ln x יש אסימפטוטה אנכית ב-x=0x = 0.

דוגמה מעשית:


מצאו את תחום ההגדרה ואת נגזרת הפונקציה: f(x)=ln⁡(x2−4)f(x) = \ln(x^2 - 4).

פתרון:

  • תחום הגדרה:


נדרוש שהביטוי בתוך הלוגריתם יהיה חיובי:
x2−4>0  ⟹  x>2אוx<−2x^2 - 4 > 0 \implies x > 2 \quad \text{או} \quad x < -2

  • נגזרת:


הפונקציה הפנימית היא g(x)=x2−4  ⟹  g′(x)=2xg(x) = x^2 - 4 \implies g'(x) = 2x.
נציב בנוסחת הגזירה:
f′(x)=2xx2−4f'(x) = \frac{2x}{x^2 - 4}

פשוט, מהיר ומדויק!
1

מצאו את נקודות החיתוך עם ציר ה-xx של הפונקציה f(x)=ln⁡(x−3)f(x) = \ln(x - 3) (רמז: היעזרו בעובדה ש-ln⁡(1)=0\ln(1) = 0).

2

חקרו ומצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x} בתחום הגדרתה.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ