אנליטית 5 יחידות: פרבולה

הבנת הפרבולה באנליטית על פי הגדרתה: מוקד ומדריך, ונוסחת המשיק לפרבולה.

גיאומטריה אנליטית: הפרבולה כנקודה גיאומטרית 📐

הבנת הפרבולה באנליטית על פי הגדרתה: מוקד ומדריך, ונוסחת המשיק לפרבולה.


⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

בגיאומטריה אנליטית של 55 יחידות, אנו מגדירים את הפרבולה באופן שונה מהפונקציה הריבועית שלמדנו בחקירת פונקציות.

הגדרה גיאומטרית:
פרבולה היא מקום גיאומטרי של כל הנקודות במישור שהמרחק שלהן מנקודה קבועה (הנקראת מוקד Focus- Focus) שווה למרחק שלהן מישר קבוע (הנקרא מדריך Directrix- Directrix).

המשוואה הקנונית של הפרבולה:


משוואת פרבולה שקודקודה בראשית הצירים וציר הסימטריה שלה הוא ציר ה-xx היא:
y2=2pxy^2 = 2px

כאשר:

  • pp: פרמטר המייצג את המרחק מהמוקד למדריך.

  • מוקד המעגל (FF): נקודה בשיעור F(p2,0)F\left(\frac{p}{2}, 0\right).

  • המדריך: ישר אנכי שמשוואתו היא x=p2x = -\frac{p}{2}.



משיק לפרבולה:


משוואת המשיק לפרבולה y2=2pxy^2 = 2px בנקודה A(x0,y0)A(x_0, y_0) שעליה מחושבת על ידי:
yy0=p(x+x0)y \cdot y_0 = p(x + x_0)

דוגמה מעשית:


נתונה פרבולה שמשוואתה היא y2=12xy^2 = 12x.

  1. מצאו את שיעור המוקד FF ואת משוואת המדריך.

  2. מצאו את משוואת המשיק לפרבולה בנקודה (3,6)(3, 6).



פתרון:

  1. מוקד ומדריך:


נשוה את המקדם של xx לנוסחה 2p=12    p=62p = 12 \implies p = 6.

  • שיעור המוקד הוא: F(p2,0)=F(3,0)F\left(\frac{p}{2}, 0\right) = F(3, 0).

  • משוואת המדריך היא: x=p2=3x = -\frac{p}{2} = -3.




  1. משוואת המשיק:


נציב את הנקודה A(3,6)A(3, 6) ו-p=6p = 6 בנוסחת המשיק:
y6=6(x+3)    6y=6x+18    y=x+3y \cdot 6 = 6(x + 3) \implies 6y = 6x + 18 \implies y = x + 3

משוואת המשיק היא y=x+3y = x + 3.
1

נתונה פרבולה שבה המוקד נמצא בנקודה (2,0)(2, 0). רשמו את משוואת הפרבולה ואת משוואת המדריך שלה.

2

הוכיחו כי הנקודה (3,6)(3, 6) אכן נמצאת על הפרבולה y2=12xy^2 = 12x על ידי הצבה במשוואה.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ