משוואת המעגל וגיאומטריה אנליטית

הבנת הייצוג האלגברי של מעגל במערכת הצירים, מציאת מרכז המעגל והרדיוס, וקביעת מיקום של נקודות.
גיאומטריה אנליטית📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)

משוואת המעגל בגיאומטריה אנליטית 📐

הבנת הייצוג האלגברי של מעגל במערכת הצירים, מציאת מרכז המעגל והרדיוס, וקביעת מיקום של נקודות.

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

בגיאומטריה אנליטית, מעגל מוגדר כאוסף כל הנקודות במישור שהמרחק שלהן מנקודה קבועה (מרכז המעגל) הוא קבוע (הרדיוס RR).

משוואת המעגל הכללית:


המשוואה של מעגל שמרכזו בנקודה M(a,b)M(a, b) ורדיוסו הוא RR היא:
(x−a)2+(y−b)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2


  • מעגל קנוני: מעגל שמרכזו נמצא בראשית הצירים (0,0)(0,0). משוואתו פשוטה יותר:


x2+y2=R2x^2 + y^2 = R^2

בדיקת מיקום נקודה ביחס למעגל:


אם נתונה נקודה P(x0,y0)P(x_0, y_0), אנו מציבים את שיעוריה באגף שמאל של משוואת המעגל ומקבלים תוצאה:

  • אם התוצאה שווה ל-R2R^2: הנקודה נמצאת על המעגל.

  • אם התוצאה קטנה מ-R2R^2: הנקודה נמצאת בתוך המעגל.

  • אם התוצאה גדולה מ-R2R^2: הנקודה נמצאת מחוץ למעגל.



דוגמה מעשית:


נתון מעגל שמשוואתו היא (x−3)2+(y+2)2=25(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25.

  1. מהו מרכז המעגל ומהו רדיוסו?

  2. קבעו האם הנקודה P(6,2)P(6, 2) נמצאת על המעגל, בתוכו או מחוצה לו.



פתרון:

  1. לפי נוסחת המעגל:



  • מרכז המעגל M(a,b)=(3,−2)M(a,b) = (3, -2).

  • הרדיוס בריבוע הוא R2=25  ⟹  R=5R^2 = 25 \implies R = 5.



  1. נציב את הנקודה P(6,2)P(6, 2) במשוואה:


(6−3)2+(2+2)2=32+42=9+16=25(6 - 3)^2 + (2 + 2)^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25
התוצאה שווה בדיוק ל−25(-25 (R2R^2). לכן, הנקודה נמצאת על המעגל.
1

רשמו את משוואת המעגל שמרכזו בנקודה M(−1,4)M(-1, 4) ורדיוסו הוא R=6R = 6.

2

מצאו את נקודות החיתוך של המעגל הקנוני x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 עם ציר ה-xx.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ