משוואת המשיק למעגל באנליטית 📐

איך למצוא משוואת משיק למעגל בנקודה נתונה על ידי שימוש בתכונה שהרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.

הסבר מפורט

מציאת משוואת משיק למעגל היא שאלה קלאסית המשלבת תכונות של מעגלים עם ישרים מאונכים.

🚨
חשוב

הרדיוס המחבר את מרכז המעגל עם נקודת ההשקה מאונך למשיק בנקודה זו. כלומר, זווית ההשקה היא

90

מעלות.

במונחים של שיפועים, אם שיפוע הרדיוס הוא

m_{\text{radius}}

, אז שיפוע המשיק

m_{\text{tangent}}

מקיים:

m_{\text{tangent}} = -\frac{1}{m_{\text{radius}}}

מציאת שיפוע הרדיוס: מציבים את מרכז המעגל $M(a,b)$ ואת נקודת ההשקה $A(x_0, y_0)$ בנוסחת השיפוע:

m_{\text{radius}} = \frac{y_0 - b}{x_0 - a}

חישוב שיפוע המשיק: מחשבים את השיפוע ההופכי והנגדי $m_{\text{tangent}} = -1 / m_{\text{radius}}$ .

כתיבת משוואת הישר: משתמשים בנקודת ההשקה $A(x_0, y_0)$ ובשיפוע המשיק לבניית המשוואה:

y - y_0 = m_{\text{tangent}}(x - x_0)

נתון מעגל שמרכזו

M(1, 2)

ונקודה על המעגל היא

A(4, 6)

. מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה

A

.

פתרון:
שלב $1$ : שיפוע הרדיוס $MA$ .

m_{\text{radius}} = \frac{6 - 2}{4 - 1} = \frac{4}{3}

שלב $2$ : שיפוע המשיק.
השיפוע של המשיק מאונך לרדיוס:

m_{\text{tangent}} = -\frac{3}{4} = -0.75

שלב $3$ : משוואת המשיק.
נציב את הנקודה

A(4, 6)

והשיפוע

-0.75

בנוסחת הישר:

y - 6 = -0.75(x - 4) \implies y - 6 = -0.75x + 3 \implies y = -0.75x + 9

משוואת המשיק היא

y = -0.75x + 9

. פשוט ומדויק!

מצאו את משוואת המשיק למעגל הקנוני $x^2 + y^2 = 25$ בנקודה $(3, 4)$ שעליו.

הסבירו מדוע לא ניתן למצוא משיק למעגל בנקודה שנמצאת בתוך המעגל.

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7