גזירה וחקירה של פונקציית שורש

לימוד כללי הגזירה הייחודיים לפונקציות שורש f(x)\sqrt{f(x)}, מציאת תחום הגדרה ונקודות קיצון קצה.
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)

חקירת פונקציית שורש מורכבת 📊

לימוד כללי הגזירה הייחודיים לפונקציות שורש f(x)\sqrt{f(x)}, מציאת תחום הגדרה ונקודות קיצון קצה.

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

פונקציית שורש היא פונקציה המכילה את המשתנה xx תחת השורש הריבועי, למשל f(x)=g(x)f(x) = \sqrt{g(x)}.

א. תחום הגדרה


הביטוי שבתוך השורש חייב להיות אי-שלילי. לכן נדרוש:
g(x)≥0g(x) \ge 0

ב. כלל הגזירה של שורש


הנגזרת של פונקציית שורש מוגדרת כנגזרת הפנימית חלקי פעמיים השורש:
f′(x)=g′(x)2g(x)f'(x) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}



💡
טיפ

כאשר משווים את הנגזרת לאפס (f′(x)=0f'(x) = 0), מספיק להשוות את הנגזרת הפנימית בלבד לאפס (g′(x)=0g'(x) = 0), בתנאי שהערך מוגדר.


ג. נקודות קיצון קצה (BoundaryExtrema)(Boundary Extrema)


בפונקציות שורש, תחום ההגדרה מסתיים לרוב בנקודות קצה סגורות (למשל x≥3x \ge 3). נקודות אלו, שבהן השורש מתאפס, הן נקודות קיצון קצה וחשוב לציין אותן בחקירה ולקבוע אם הן מינימום או מקסימום בעזרת הטבלה.

דוגמה מעשית:


מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)=2x−6f(x) = \sqrt{2x - 6}.

פתרון:

  1. תחום הגדרה: 2x−6≥0  ⟹  2x≥6  ⟹  x≥32x - 6 \ge 0 \implies 2x \ge 6 \implies x \ge 3.


הנקודה x=3x = 3 היא נקודת קצה.

  1. נגזרת:


f′(x)=222x−6=12x−6f'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x - 6}} = \frac{1}{\sqrt{2x - 6}}
הנגזרת אינה יכולה להתאפס (מונה קבוע 11). לכן אין נקודות קיצון פנימיות.

  1. נקודת קצה: ב-x=3x = 3 ערך הפונקציה הוא f(3)=0f(3) = 0.


מכיוון שהשורש תמיד חיובי או אפס, הערך 00 הוא הערך הנמוך ביותר של הפונקציה. לכן הנקודה (3,0)(3, 0) היא נקודת מינימום קצה.
1

חקרו ומצאו את נקודות הקיצון ותחום ההגדרה של f(x)=x4−xf(x) = x\sqrt{4 - x}.

2

גזרו את הפונקציה הבאה: f(x)=x2+5f(x) = \sqrt{x^2 + 5}.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ