חקירת פונקציית מנה עם פרמטרים

איך לבצע חקירה מלאה לפונקציית שבר עם פרמטר, למצוא נקודות קיצון ואסימפטוטות המובעות באמצעות הפרמטר.
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)

חקירת פונקציית מנה המכילה פרמטרים 📊

איך לבצע חקירה מלאה לפונקציית שבר עם פרמטר, למצוא נקודות קיצון ואסימפטוטות המובעות באמצעות הפרמטר.

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטרים (כמו aa) היא שאלת בגרות קלאסית ב−5-5 יחידות. בשאלות אלו אנו מביעים את נקודות החיתוך, הקיצון והאסימפטוטות באמצעות הפרמטר, או משתמשים בנתונים כדי לגלות את ערך הפרמטר.

אסטרטגיה למציאת ערך הפרמטר:


אם נתונה לנו נקודת קיצון או נקודה על הגרף, אנו משתמשים בה כדי לבנות משוואה ולמצוא את הפרמטר:

  • נתון נקודה (x0,y0)(x_0, y_0) על הגרף: מציבים את הנקודה בפונקציה המקורית: f(x0)=y0f(x_0) = y_0.

  • נתון נקודת קיצון ב-x0x_0: גוזרים את הפונקציה ומשווים את הנגזרת לאפס בנקודה זו: f′(x0)=0f'(x_0) = 0.



דוגמה מעשית:


נתונה הפונקציה f(x)=x2+ax−2f(x) = \frac{x^2 + a}{x - 2}. ידוע שלפונקציה יש נקודת קיצון ב-x=4x = 4. מצאו את ערך הפרמטר aa.

פתרון:
מכיוון שיש נקודת קיצון ב-x=4x = 4, הנגזרת בנקודה זו שווה לאפס: f′(4)=0f'(4) = 0.
נגזור את הפונקציה לפי חוק המנה:
f′(x)=2x(x−2)−(x2+a)⋅1(x−2)2=2x2−4x−x2−a(x−2)2=x2−4x−a(x−2)2f'(x) = \frac{2x(x - 2) - (x^2 + a) \cdot 1}{(x - 2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2 - a}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x - a}{(x - 2)^2}

נציב x=4x = 4 ונשווה את המונה לאפס:
42−4⋅4−a=04^2 - 4 \cdot 4 - a = 0
16−16−a=0  ⟹  a=016 - 16 - a = 0 \implies a = 0

קיבלנו כי ערך הפרמטר הוא a=0a = 0.
1

נתונה הפונקציה f(x)=axx2+1f(x) = \frac{ax}{x^2 + 1}. ידוע שהמשיק לפונקציה ב-x=0x = 0 בעל שיפוע 33. מצאו את ערך הפרמטר aa.

2

עבור הפונקציה f(x)=x2+kx−1f(x) = \frac{x^2 + k}{x - 1}, הביעו באמצעות kk את שיעור ה-yy של נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-yy.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ