נקודות פיתול, קעירות מעלה וקעירות מטה 📊

הבנת המשמעות הגיאומטרית של הנגזרת השנייה ומציאת נקודות פיתול שבהן הפונקציה משנה את כיוון הקעירות שלה.

הסבר מפורט

עד כה השתמשנו בנגזרת הראשונה

f'(x)

כדי למצוא תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון. כעת נכיר את הנגזרת השנייה

f''(x)

, המייצגת את קצב השינוי של שיפוע הפונקציה, או במילים אחרות: את הקעירות של הפונקציה.

קעירות כלפי מעלה (צורת קערה/חיוך): מתרחשת בתחומים שבהם הנגזרת השנייה חיובית ( $f''(x) > 0$ ).

קעירות כלפי מטה (צורת קערה הפוכה/עצוב): מתרחשת בתחומים שבהם הנגזרת השנייה שלילית ( $f''(x) < 0$ ).

נקודת פיתול היא נקודה על גרף הפונקציה שבה הפונקציה משנה את קעירותה (מעוברת מקעירות מעלה לקעירות מטה, או להפך).

התנאי למציאת נקודת פיתול:

הנגזרת השנייה משנה את סימנה (מחיובי לשלילי או להפך) כשעוברים דרך הנקודה הזו (נוודא זאת בעזרת טבלה).

מצאו את נקודות הפיתול ותחומי הקעירות של הפונקציה:

f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x

פתרון:
נגזור פעם ראשונה:

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9

נגזור פעם שנייה:

f''(x) = 6x - 12

נשווה את הנגזרת השנייה לאפס:

6x - 12 = 0 \implies x = 2

נבנה טבלה לבדיקת סימני הנגזרת השנייה מסביב ל-

x = 2

עבור $x < 2$ (למשל $x=1$ ): $f''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0$ (קעירות כלפי מטה $\cap$ ).

עבור $x > 2$ (למשל $x=3$ ): $f''(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0$ (קעירות כלפי מעלה $\cup$ ).

מכיוון שהקעירות השתנתה, ב-

x = 2

יש נקודת פיתול. נמצא את שיעור ה-

y

על ידי הצבה בפונקציה המקורית:

y = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 9 \cdot 2 = 8 - 24 + 18 = 2

נקודת הפיתול היא

(2, 2)

מצאו את נקודות הפיתול של הפונקציה: $f(x) = x^4 - 6x^2$ .

הוכיחו כי לפונקציה ריבועית (פרבולה) $f(x) = ax^2 + bx + c$ אין אף נקודת פיתול.

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7