זהויות טריגונומטריות והבעת צלעות

שימוש בזהויות מורכבות (סכום והפרש זוויות, זווית כפולה) להבעת אורכי קטעים ושטחים בגיאומטריה.
טריגונומטריה📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)

זהויות טריגונומטריות והבעת צלעות עם פרמטרים 📐

שימוש בזהויות מורכבות (סכום והפרש זוויות, זווית כפולה) להבעת אורכי קטעים ושטחים בגיאומטריה.

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

בבגרות 55 יח"ל, שאלות רבות בטריגונומטריה דורשות להביע אורך של צלע או שטח של צורה באמצעות זווית פרמטרית α\alpha וצלע נתונה aa. כדי לפשט את הביטויים הללו לתוצאה נקייה, עלינו לשלוט בזהויות טריגונומטריות מורחבות.

א. זהויות סכום והפרש זוויות:



  1. sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta

  2. cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta



ב. קשרים שימושיים למשולש:


כיוון שסכום הזוויות במשולש הוא 180180 מעלות, מתקיים:
sin⁡(180∘−θ)=sin⁡θ\sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta
cos⁡(180∘−θ)=−cos⁡θ\cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta

דוגמה מעשית (הבעת צלע):


במשולש ABCABC זווית BB היא α\alpha, זווית CC היא 2α2\alpha. אורך הצלע BCBC הוא aa. הביעו את אורך הצלע ACAC באמצעות aa ו-\α\alpha.

פתרון:
נמצא תחילה את הזווית השלישית במשולש ∠A\angle A:
∠A=180∘−(α+2α)=180∘−3α\angle A = 180^\circ - (\alpha + 2\alpha) = 180^\circ - 3\alpha

נשתמש במשפט הסינוסים:
ACsin⁡∠B=BCsin⁡∠A  ⟹  ACsin⁡α=asin⁡(180∘−3α)\frac{AC}{\sin \angle B} = \frac{BC}{\sin \angle A} \implies \frac{AC}{\sin \alpha} = \frac{a}{\sin(180^\circ - 3\alpha)}

נשתמש בזהות sin⁡(180∘−3α)=sin⁡(3α)\sin(180^\circ - 3\alpha) = \sin(3\alpha):
ACsin⁡α=asin⁡(3α)\frac{AC}{\sin \alpha} = \frac{a}{\sin(3\alpha)}
AC=asin⁡αsin⁡(3α)AC = \frac{a \sin \alpha}{\sin(3\alpha)}

קיבלנו ביטוי טריגונומטרי המביע את הצלע ACAC. זה פשוט ללמוד ברגע ששולטים בזוויות המשולש!
1

השתמשו בזהות זווית כפולה כדי לפשט את הביטוי שקיבלנו עבור ACAC במקרה שבו 3α3\alpha ניתן לפירוק, או במקרה פשוט של BC=asin⁡α2sin⁡αcos⁡αBC = \frac{a \sin \alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha}.

2

הביעו את שטח המשולש ABCABC באמצעות aa ו-\α\alpha לפי הנתונים למעלה.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ