טריגונומטריה: משפט הסינוסים מורחב

שימוש במשפט הסינוסים לחישוב רדיוס המעגל החוסם (RR) ופתרון בעיות טריגונומטריות מורכבות במעגלים.
טריגונומטריה📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)

משפט הסינוסים המורחב והמעגל החוסם 📐

שימוש במשפט הסינוסים לחישוב רדיוס המעגל החוסם (RR) ופתרון בעיות טריגונומטריות מורכבות במעגלים.

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

משפט הסינוסים יוצר קשר ישיר ויפהפה בין הצלעות והזוויות של משולש לבין המעגל החוסם אותו.

הנוסחה המלאה של המשפט היא:
asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R
כאשר RR הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABCABC.

מתי נשתמש במשפט המורחב?



  1. כאשר מבקשים במפורש לחשב את רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

  2. כאשר נתון רדיוס המעגל החוסם, ואנו צריכים למצוא צלעות או זוויות במשולש.



דוגמה מעשית:


במשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו R=10R = 10 ס"מ, נתון כי הזווית α\alpha (הזווית מול הצלע aa) היא בת 45∘45^\circ. חשבו את אורך הצלע aa.

פתרון:
נשתמש בחלק המתאים של משפט הסינוסים המורחב:
asin⁡α=2R\frac{a}{\sin \alpha} = 2R
נציב את הנתונים:
asin⁡(45∘)=2⋅10\frac{a}{\sin(45^\circ)} = 2 \cdot 10
asin⁡(45∘)=20\frac{a}{\sin(45^\circ)} = 20
נכפיל ב-sin⁡(45∘)\sin(45^\circ) (שערכו 22≈0.707\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707):
a=20⋅sin⁡(45∘)=20⋅22=102≈14.14 ס"מa = 20 \cdot \sin(45^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \approx 14.14 \text{ ס"מ}

זה פשוט ללמוד טריגונומטריה כשיש כללים ברורים!
1

משולש ABCABC חסום במעגל. נתון כי צלע a=8a = 8 ס"מ והזווית שמולה α=30∘\alpha = 30^\circ. חשבו את רדיוס המעגל החוסם RR.

2

הסבירו מדוע אם זווית במשולש הנשענת על קוטר היא 90∘90^\circ, משפט הסינוסים מחזיר בדיוק 2R2R עבור יתר המשולש.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ